Question

若椭圆X2/a2+Y2/b2=1上存在一点M,它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为？

我是这么做的，设他到左焦点的距离是x,a+c<=x<=a-c,
则2x+ex=2a
e=2a-2x)/x=2a/x-2
所以x=a+c时e最小，e=2a(a+c)-2=2/(e+1)-2
e^2+3e=0,e=0或-3，这怎么错 的？
答案(√17-3)/2
打错了,a-c<=x<=a+c
我问的是怎么做的。

Answer 1

其实，简单点，既然要存在这样的点，使得此点到左焦点的距离等于此点到右准线的距离的2倍，当这个点向右移动时，MF1【F1是左焦点】在增加，而此时，M到右准线的距离在减小，既然要存在，那就只要最大时满足即可。即当点M到右端点时满足2倍关系即可。
则：(a＋c)/[(a²/c)－a]≥2就可以了
a＋c≥2[a²/c－a]
ac＋c²≥2a²－2ac
c²＋3ac－2a²≥0 ======>>>> 两边除以a²
e²＋3e－2≥0
e≤(－3－√17)/2【舍去】或e≥(－3＋√17)/2
则：(－3＋√17)/2≤e<1，即e的最小值是(－3＋√17)/2

Answer 2

a+c<=x<=a-c不对，如果是这样，那么就有a+c<=a-c，c<=0,显然不对嘛。
顺便问一下，你这是求最小值吗？