Question

高一数学抽象函数问题。。

已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数构成的集合,对于定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时，f(x)>0.

求证：(1)f(x)是偶函数；
(2)f(x)在（0，+∞）上是增函数

Answer 1

证明：
（1）令x1 = 1 = x2
则：f(1) = f(1) + f(1)
f(1) = 0
再令x1 = -1 ，x2 = 1
f(-1) = f(1) + f(-1)
f(-1) = 0
设：x1 = x，x2 = -1
则：f(-x) = f(-1) + f(x)
所以：f(-x) = f(x) ，且x≠0
（2） 设 0< x<1,则1< 1/x
所以：f(1) = f(x) + f(1/x)
f(x) + f(1/x) = 0
因为当x>1时，f(x)>0,所以必有：当0<x<1时，f(x)<0 成立
设0<x1,x2<1,则 0<x1*x2<x1<1成立，
因此：f(x1x2)- f(x1) = f(x1) +f(x2) - f(x1) = f(x2) < 0
所以在（0，1）上是f(x)是增函数；
再设1<x1，x2< +∞,则：x1*x2>x1>1成立，
所以：f(x1x2)- f(x1) = f(x1) +f(x2) - f(x1) = f(x2) > 0
即：在（1，+∞）上是f(x)是增函数；
而f(1) = 0 有定义，且f(1) > f（x）当0<x<1成立，所以
f(x)在（0，+∞）上是增函数

Answer 2

（1）令X1=1可得f(1)=0,令x1=x2=-1,可得f(-1)=0,令x1=x,x2=-1可得f(x)=f(-x),即该 函数为偶函数。
（2）x1,x2>1时，x1x2>x1,则f(x2x1)-f(x1)=f(x2)>0,成立；0<x1<1,0<x2<1时，f(1)=f(x1)+f(1/x1)=0,又f(1/x1)>0,则f(x1)<0;x1x2<x2,则f(x1x2)-f(x2)=f(x1)<0,亦成立，即（2）成立。
写得有点乱，你自己整理一下吧。

Answer 3

f[(-x1)(-x2)]=f(x1x2)=f(x1)+f(x2)