高一数学抽象函数问题。。
已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数构成的集合,对于定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0.求证:(1)f(...
已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数构成的集合,对于定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0.
求证:(1)f(x)是偶函数;
(2)f(x)在(0,+∞)上是增函数 展开
求证:(1)f(x)是偶函数;
(2)f(x)在(0,+∞)上是增函数 展开
3个回答
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证明:
(1)令x1 = 1 = x2
则:f(1) = f(1) + f(1)
f(1) = 0
再令x1 = -1 ,x2 = 1
f(-1) = f(1) + f(-1)
f(-1) = 0
设:x1 = x,x2 = -1
则:f(-x) = f(-1) + f(x)
所以:f(-x) = f(x) ,且x≠0
(2) 设 0< x<1,则1< 1/x
所以:f(1) = f(x) + f(1/x)
f(x) + f(1/x) = 0
因为当x>1时,f(x)>0,所以必有:当0<x<1时,f(x)<0 成立
设0<x1,x2<1,则 0<x1*x2<x1<1成立,
因此:f(x1x2)- f(x1) = f(x1) +f(x2) - f(x1) = f(x2) < 0
所以在(0,1)上是f(x)是增函数;
再设1<x1,x2< +∞,则:x1*x2>x1>1成立,
所以:f(x1x2)- f(x1) = f(x1) +f(x2) - f(x1) = f(x2) > 0
即:在(1,+∞)上是f(x)是增函数;
而f(1) = 0 有定义,且f(1) > f(x)当0<x<1成立,所以
f(x)在(0,+∞)上是增函数
(1)令x1 = 1 = x2
则:f(1) = f(1) + f(1)
f(1) = 0
再令x1 = -1 ,x2 = 1
f(-1) = f(1) + f(-1)
f(-1) = 0
设:x1 = x,x2 = -1
则:f(-x) = f(-1) + f(x)
所以:f(-x) = f(x) ,且x≠0
(2) 设 0< x<1,则1< 1/x
所以:f(1) = f(x) + f(1/x)
f(x) + f(1/x) = 0
因为当x>1时,f(x)>0,所以必有:当0<x<1时,f(x)<0 成立
设0<x1,x2<1,则 0<x1*x2<x1<1成立,
因此:f(x1x2)- f(x1) = f(x1) +f(x2) - f(x1) = f(x2) < 0
所以在(0,1)上是f(x)是增函数;
再设1<x1,x2< +∞,则:x1*x2>x1>1成立,
所以:f(x1x2)- f(x1) = f(x1) +f(x2) - f(x1) = f(x2) > 0
即:在(1,+∞)上是f(x)是增函数;
而f(1) = 0 有定义,且f(1) > f(x)当0<x<1成立,所以
f(x)在(0,+∞)上是增函数
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(1)令X1=1可得f(1)=0,令x1=x2=-1,可得f(-1)=0,令x1=x,x2=-1可得f(x)=f(-x),即该 函数为偶函数。
(2)x1,x2>1时,x1x2>x1,则f(x2x1)-f(x1)=f(x2)>0,成立;0<x1<1,0<x2<1时,f(1)=f(x1)+f(1/x1)=0,又f(1/x1)>0,则f(x1)<0;x1x2<x2,则f(x1x2)-f(x2)=f(x1)<0,亦成立,即(2)成立。
写得有点乱,你自己整理一下吧。
(2)x1,x2>1时,x1x2>x1,则f(x2x1)-f(x1)=f(x2)>0,成立;0<x1<1,0<x2<1时,f(1)=f(x1)+f(1/x1)=0,又f(1/x1)>0,则f(x1)<0;x1x2<x2,则f(x1x2)-f(x2)=f(x1)<0,亦成立,即(2)成立。
写得有点乱,你自己整理一下吧。
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f[(-x1)(-x2)]=f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
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