Question

设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x分之f（x）—f（x）＜0的解集为

f（x地属实1）—f（x底数是2）

Answer 1

{x|x>1, 或x<-1，或0<x<1}

f(x)/x-f(x)<0，即f(x)(1-x)/x<0，即f(x)(x-1)/x>0
因此，原不等式等价于求不得式f(x)* (x-1)/x >0的解集
由已知可得，当x>1，或者x<-1时，恒有f(x)>0；
-1<x<0，或者0<x<1时，恒有f(x)<0
由此可得，（1）f(x)>0，即x>1，或者x<-1，只需求解(x-1)/x>0，解此不等式得：x>1或x<0
所以，此时不原不等式解为：x>1, 或x<-1（即f(x)>0时，原不等式恒成立）
（2）f(x)<0，即-1<x<0，或0<x<1时，只需求解(x-1)/x<0，解此不等式得：0<x<1
所以，此时不原不等式解为：0<x<1；
综上所述可得，已知不等式的解集为：{x|x>1, 或x<-1，或0<x<1}

Answer 2

在(0，+∞)上为增函数，且f(1)=0
所以0＜x＜1时,f(x)＜0；x＞1时，f(x)＞0
所以
0＜x＜1时，f(x)(x-1)/x＞0，则(x-1)/x＜0，0＜x＜1；
x＞1时，f(x)(x-1)/x＞0，则(x-1)/x＜0，x＜0或x＞1，则x＞1。
所以在(0，+∞)上其解集为0＜x＜1或x＞1。

在(-∞，0)上，f(-1)=-f(1)=0
f(x)=-f(-x),x＜0,-x＞0
-1＜x＜0即0＜-x＜1时，f(-x)＜0，f(x)(x-1)/x=-f(-x)(x-1)/x＞0
f(-x)(x-1)/x＜0，→(x-1)/x＞0，→x＜0，→-1＜x＜0；
x＜-1即-x＞1时，f(-x)＞0，f(x)(x-1)/x=-f(-x)(x-1)/x＞0
f(-x)(x-1)/x＜0，→(x-1)/x＜0，→0＜x＜1，因x＜-1舍去。
所以在(-∞，0)上其解集为-1＜x＜0。

综上所述其解集为0＜x＜1或x＞1或-1＜x＜0即{x|x＞-1且x≠0且x≠1}.