Question

设奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（1）=0，则不等式x[f（x）-f（-x）]＜0的解集为（　　）

设奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（1）=0，则不等式x[f（x）-f（-x）]＜0的解集为（　　） A．{x|-1＜x＜0，或＞1} B．{x|x＜-1，或0＜x＜1} C．{x|x＜-1，或x＞1} D．{x|-1＜x＜0，或0＜x＜1}

Answer 1

∵函数f（x）是奇函数，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数， ∴它在（-∞，0）上也是增函数．∵f（-x）=-f（x）， ∴f（-1）=f（1）=0． 不等式x[f（x）-f（-x）]＜0可化为2xf（x）＜0， 即xf（x）＜0， ∴当x＜0时， 可得f（x）＞0=f（-1），∴x＞-1， ∴-1＜x＜0； 当x＞0时，可得f（x）＜0=f（1）， ∴x＜1，∴0＜x＜1． 综上，不等式x[f（x）-f（-x）]＜0的解集为{x|-1＜x0，或0＜x＜1}． 故选D．