Question

1已知数列{an}前n项和为Sn，a1=1,n*S(n+1)-（n+1)*Sn=n²+cn(c∈R，n∈N*）且S1，S2/2,S3/3成等差数列

求（1）求c的值
（2）求数列{an}的通项公式
2设数列{an}满足a1=2,a(n+1)-an=3*2^2n-1
(1)求数列{an}通项公式
（2）令bn=n*an,求数列{bn}前n项和Sn
3数列{an}中，其前n项和Sn满足S（n+1）=2Sn+1且a1=1
（1)求数列{an}的通项公式an
(2)设数列{n*an}前n项和为Tn，求Tn

Answer 1

1、因为n*S(n+1)-（n+1)*Sn=n²+cn，
两边同时除以n*（n+1）得
S（n+1）/（n+1）-Sn/n=n方+cn/[n*(n+1)]
又因为S1，S2/2,S3/3等差。
则n方+cn/[n*(n+1)]为常数。所以，c=1
又因为a1=1.所以S1=1
所以Sn/n=n
所以Sn=n方
an=Sn-S（n-1）=2n-1
2、那个-1是在指数里面还是常数项？

Answer 2

1（1）a1 = S1 = 1
S2 -2S1 = c+1
2S3 - 3S2 = 4 +2c
S1 + S3/3 = 2* S2/2
c = -5
(2) 下班回去算

追问

第一问貌似不对头啊~~

追答

不好意思，算错了，应该是c = 1

接着来：
（2）因为S(n+1) - Sn = a(n+1)
所以：n a(n+1) - Sn = n^2 +n
(n-1)an - S(n-1) = (n-1)^2 + (n-1)
两式相减：
n a(n+1) - (n-1)an - an = 2n
a(n+1) - an = 2
所以an是公差为2的等差数列：
an = 2n-1

2.
（1）
因为：
a(n+1)-an=3*2^(2n-1)
所以：
an-a(n-1)=3*2^(2n-3)
...
a3-a2=3*2^3
a2-a1=3*2^1
上述各项相加：
an-a1=3[2^1+2^3+2^5+2^7+...+2^(2n-3)]
=3*2*[2^(2n-2)-1]/(2^2-1)
=2^(2n-1)-2
因此：
an=2^(2n-1)
（2）
bn=n*2^(2n-1)
Bn = 1* 2^1 + 2*2^3 + 3* 2^5 +........+ n*2^(2n-1)
4Bn = 1* 2^3 + 2*2^5 +.........+(n-1)2^(2n-1) + n*2^(2n+1)
上述两式相减：
-3Bn = 1* 2^1 +(2^3+2^5.......+(2n-1)) - n*2^(2n+1)
Bn = n*2^(2n+1)/3 - 2^(2n+1)/9 - 2/9
3.
(1)
S（n+1）=2Sn+1
a（n+1）= Sn+1
an= S(n-1)+1
a(n+1) - an = an
a(n+1) = 2an
所以是等比
an = 2^(n-1)
(2)
bn=n*an = n 2^(n-1)
Tn = 1*2^0 + 2*2^1+.......+ (n-1)2^(n-2)+n 2^(n-1)
2Tn = 1*2^1+........+(n-2)2^(n-2)+(n-1)2^(n-1)+n 2^n
-Tn = 1 + 2+...........+2^(n-2)+2^(n-1)-n 2^n
Tn = (n-1)2^n +1

累死我了，敲的手都酸了！