Question

△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E．

（1）求证：△ABD∽△CED．
（2）若AB=6，AD=2CD，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ACB=60°，∠ACF=120°；

∵CE是外角平分线，

∴∠ACE=60°；

∴∠BAC=∠ACE；

又∵∠ADB=∠CDE，

∴△ABD∽△CED；

（2）解：作BM⊥AC于点M，如图，AC=AB=6

∴AM=CM=3，BM=AB•sin60°= 33；

∵AD=2CD，∴CD=2，AD=4，MD=1；

在Rt△BDM中，BD= BM2+MD2= 27；

由（1）△ABD∽△CED得， BDED=ADCD， 27ED=2，

∴ED= 7，∴BE=BD+ED= 37．

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（1）由于△ABC是等边三角形，易知∠A=60°，∠ACF=120°；而CE平分∠ACF，可得∠A=∠DCE=60°，又已知了一组对顶角，两组对应角相等，可判定所求的两个三角形相似；

（2）由于△ABC是等边三角形，则AC=BC=6，由此可求出AC、CD的长；过B作BM⊥AC于M，根据等边三角形的性质知AM=MC，由此可求出MD、MB的长，进而可由勾股定理求出BD的长；根据（1）的相似三角形，可得出关于AD、CD，BD、DE的比例关系式，即可求出DE的长，从而由BE=BD+DE求出BE的长．

Answer 2

（1）求证：△ABD∽△CED
∵CE为角平分线
∴AB//CE同位角相等，对顶角相等
∴：△ABD∽△CED
（2）因为相似，所以对应边成比例，所以CE=12
用余弦定理分别求DE和BD
DE²=CD²+CE²-2×CD×CE×cos60°
同理求BD