Question

设y=f(x)为定义域是R上的偶函数，其图像关于直线X=1对称，对任意X1，X2∈［0, 1/2］ ，都有f(x1+x2)=

设y=f(x)为定义域是R上的偶函数，其图像关于直线X=1对称，对任意X1，X2∈［0, 1/2］
，都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2).
设f(1)=2,求f(1/2),f(1/4)
主要是不会计算X的取值范围，麻烦各位大姐大哥写详细点，谢谢
第二问说的的求证他是周期函数
答案说：因为y=f(x)关于X=1对称，所以f(x)=f(1+(1-x))=f(2-x)
为什么啊，主要是f(x)=f(1+(1-x))不懂

Answer 1

f(1)=f(1/2+1/2)=f(1/2)f(1/2)=2
所以 f(1/2)=+-根号2
同理：
当f(1/2)=根侍搭御号2时，解得f(1/4)=2^(1/4)
当f(1/2)=-根号2时，f(1/4)无解枝侍。老岩所以f(1/2)只能取根号2，f(1/4)=2^(1/4)

追问

大哥，第二问说的的求证他是周期函数
答案说：因为y=f(x)关于X=1对称，所以f(x)=f(1+(1-x))=f(2-x)
为什么啊，主要是f(x)=f(1+(1-x))不懂

追答

关于x=1对称，那么f(1-x)=f(1+x)
令1-x=t x=1-t f(t)=f(2-t)
t换成x也一样成立。f(x)是周期函数，周期为2。

Answer 2

由于是偶函数，所以粗慎f/(x)=f(-x),所以
f(1-1/2)=f(1)f(-1/尘举2)
f(1/2)=2f(-1/2)
f(1/2)=2f(1/2)
所以f(1/2)=0;
图像关于直线X=1对称派凳碧,并且是偶函数，所以其周期为2.

Answer 3

当f(1/2)=根号2时，解得f(1/4)=2^(1/4)
当f(1/2)=-根枣陪庆销号2时，f(1/4)无解。所以f(1/2)只能凳差蠢取根号2，f(1/4)=2^(1/4)

Answer 4

因为f(x)为偶函数，所以f(x)=f(-x).而f(x)关于铅桐直线x=1对称，所以f(1+x)=f(1-x).从而f(1+(x+1))=f(1-(1+x)),即f(2+x)=f(-x)=f(x).因此耐枝，昌激敏f(x)是周期函数，且周期为2.