Question

在区间[-π，π]内随机取两个数分别记为a,b，则使得函数f(x)=x^2+2ax-b^2+π^2有零点的概率为

Answer 1

f(x)是一个二次函数，有零点的等价条件为判别式大于等于零，即：
4a^2-4(-b^2+π^2)≥0整理得：
a^2+b^2-π^2≥0.即：a^2+b^2≥π^2。这是一个半径为π的圆的外部。而[-π，π]内随机取两个数构成的是一个正方形的内部。公共部分的面积为：4π^2-π^3。
所以概率为：(4π^2-π^3)/4π^2=1-π/4.

Answer 2

这是求f(x)=0存在实数根的概率.
f(x)=0存在实数根的条件为Δ=4ac-b²≥0.
即4×1×（-b²+π²)-(2a)²≥0.
即4π²-4b²-4a²≥0.
化简得π²-b²-a²≥0.
即a²+b²≤π².
以a为横坐标，b为纵坐标建立平面直角坐标系，则当a,b满足f(x)=0时，坐标(a,b)落在以原点为圆心，π为半径的圆外（包括边界）.
所有(a,b)的点构成的图形为一正方形，正方形的左边界为直线a=-π，右边界为直线a=π，上边界为直线b=π，下边界为直线b=-π.此正方形正好是上面所说的圆的外切正方形.
所求的概率为点(a,b)落在正方形上但不在圆上的概率与落在正方形上的概率之比，等价于（正方形面积-圆的面积）与正方形的面积之比.这个比值为(2π×2π-π×π²)/(2π×2π)=1-π/4.
这就是所求的概率.

Answer 3

用面积法计算就可以了！