Question

已知f(x)=ax²+bx+c,若f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的值域

如题，急求

Answer 1

f(0)=0+0+c=0
c=0

f(x+1)=a(x+1)+b(x+1)=ax²+(2a+b)x+(a+b)
f(x)+x+1=ax²+(b+1)x+1
所以2a+b=b+1
a+b=1
所以a=b=1/2

f(x)=(x²+x)/2=[(x+1/2)²-1/4]/2≥(-1/4)/2=-1/8
值域(-∞,-1/8]

追问

f(x)+x+1=ax²+(b+1)x+1
所以2a+b=b+1
这步是怎么得到的，能详细点吗

追答

对应项系数相等
另外，最后错了
f(x)≥-1/8
所以值域是[-1/8.+∞)

追问

懂了，谢谢

Answer 2

f(x)=ax²+bx+c
f(0)=0
c=0
f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)=ax²+bx+x+1
2ax+a+b=x+1
2a=1
a=1/2
a+b=1
b=1/2
f(x)
=x²/2+x/2
=1/2(x^2+x+1/4)-1/8
=1/2(x+1/2)^2-1/8
f(x)的值域[-1/8.+∝)

追问

同样啊
f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)=ax²+bx+x+1
2ax+a+b=x+1
2a=1
a=1/2
a+b=1
b=1/2
怎么来的啊

Answer 3

f(x)=ax²+bx+c,
f(0)=0,
c=0
f(x)=ax²+bx
f(x+1)=f(x)+x+1
a(x+1)²+b(x+1)=ax²+bx+x+1
a=1/2 b=1/2
f(x)=(1/2)x²+(1/2)x
f（x）=(1/2)[（x+1/2)²-1/4]
f(x)≥-1/8

Answer 4

f(x)=ax²+bx+c,且f(0)=0，有c=0
f(x+1)=f(x)+x+1可化为a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+x+1
即2ax+a+b=x+1
则2a=1,a+b=1,
得a=1/2,b=1/2 即有f(x)=1/2 x²+1/2 x=1/2(x+1/2)²-1/8大于等于-1/8