Question

∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连结AD，作BE⊥AD

∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连结AD，作BE⊥AD，垂足为E，连结CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．（1）求证：BF=FD； （2）∠A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由； （3）∠A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG= DA，并说明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△AEB中，

∵AC=BC，

∴CE= 1/2AB，

∴CB=CE，

∴∠CEB=∠CBE．

∵∠CEF=∠CBF=90°，

∴∠BEF=∠EBF，

∴EF=BF．

∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，

∴∠FED=∠EDF．

∴BF=FD；

（2）由（1）BF=FD，而BC=CA，

∴CF∥AD，即AE∥CF．

若AC∥EF，则AC=EF，

∴BC=BF．∴BA=BD，∠A=45°．

∴当0°＜∠A＜45°或45°＜∠A＜90°时，四边形ACFE为梯形；

（3）作GH⊥BD，垂足为H，则GH∥AB．

∵DG= 1/4DA，

∴DH= 1/4DB．

又F为BD中点，

∴H为DF的中点．

∴GH为DF的中垂线．

∴∠GDF=∠GFD．

∵点G在ED上，

∴∠EFD≥∠GFD．

∵∠EFD+∠FDE+∠DEF=180°，

∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180度

．∴3∠EDF≤180度．

∴∠EDF≤60度．

又∠A+∠EDF=90°，

∴30°≤∠A＜90度．

∴当30°≤∠A＜90°时，

DE上存在点G，满足条件DG= 1/4DA．

Answer 2

解：（1）在Rt△AEB中，
∵AC=BC，
∴CE= 1/2AB，
∴CB=CE，
∴∠CEB=∠CBE．
∵∠CEF=∠CBF=90°，
∴∠BEF=∠EBF，
∴EF=BF．
∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，
∴∠FED=∠EDF．
∴BF=FD；

（2）由（1）BF=FD，而BC=CA，
∴CF∥AD，即AE∥CF．
若AC∥EF，则AC=EF，
∴BC=BF．∴BA=BD，∠A=45°．
∴当0°＜∠A＜45°或45°＜∠A＜90°时，四边形ACFE为梯形；

（3）作GH⊥BD，垂足为H，则GH∥AB．
∵DG= 1/4DA，
∴DH= 1/4DB．
又F为BD中点，
∴H为DF的中点．
∴GH为DF的中垂线．
∴∠GDF=∠GFD．
∵点G在ED上，
∴∠EFD≥∠GFD．
∵∠EFD+∠FDE+∠DEF=180°，
∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180度
．∴3∠EDF≤180度．
∴∠EDF≤60度．
又∠A+∠EDF=90°，
∴30°≤∠A＜90度．
∴当30°≤∠A＜90°时，
DE上存在点G，满足条件DG= 1/4DA．