Question

如图，在三角形ABC中，D为BC边上的中点，过D点分别作DE平行AB交于点E，DF平行AC交AB于点F

（1)证明:三角形BDF全等于三角形DCE（2）如果给三角形ABC添加一个条件，使四边形AFDE成矩形，则该条件是什么，使四边形成为菱形，则条件是什么？（都不再增添辅助线）选择其中一个结论进行证明。

Answer 1

第一个问题：
∵DE∥BA，∴∠B＝∠EDC，∵DF∥CA，∴∠FDB＝∠C，又BD＝DC，∴△BDF≌△DCE。
第二个问题：
当AB⊥AC时，AFDE是矩形。　当AB＝AC时，AFDE是菱形。证明如下：
∵DE∥FA、DF∥EA，∴AFDE是平行四边形。
①当AB⊥AC时，平行四边形AFDE是矩形。
②当AB＝AC时，由三角形中位线定理，有：DE＝AB/2，DF＝AC/2，∴DE＝DF，
　∴平行四边形AFDE是菱形。

Answer 2

• 已知：如图，点D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且DE=DF．求证：△ABC是等腰三角形．

• 根据点D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且DE=DF．利用HL求证△BFD≌△DEC，可得∠B=∠C，即可证明△ABC是等腰三角形．

  解答：证明：∵点D是△ABC的BC边上的中点，

  ∴BD=DC，

  ∵DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，

  ∴△BFD和△DEC为直角三角形，

  ∵DE=DF，

  在Rt△BFD和Rt△CED中，BD=DF，DB=CD，

  ∴Rt△BFD≌Rt△CED，（HL）

  ∴∠B=∠C，

  ∴△ABC是等腰三角形．