Question

已知函数f(x)=x^3+3bx^2+cx+d在(-∞，0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，且f(x)=0的一个根为-b

1 求c的值
2 求证：f（x）=0还有不同于-b的实根X1 X2 且 X1 、-b、 X2成等差数列
3 若函数f（x）的极大值小于16，求f（1）的取值范围

Answer 1

1﹚ f﹙x﹚＝x³＋3bx²＋cx＋d
f＇﹙x﹚＝3x²＋6bx＋c
由题意，0是函数极大值点，∴f＇﹙0﹚＝c＝0
2﹚ f﹙x﹚＝x³＋3bx²＋d＝0有一根为－b
有f﹙－b﹚＝－b³＋3b³＋d＝0 ∴d＝－2b³
∴f﹙x﹚＝x³＋3bx²－2b³＝﹙x＋b﹚﹙x²＋2bx－2b²﹚
x1, x2 是方程x²＋2bx－2b²＝0的两根
x1＋x2＝－2b＝2﹙－b﹚
∴x1 、 －b 、 x2 成等差数列
3﹚ f＇﹙x﹚＝3x²＋6bx＝3x﹙x＋2b﹚
f﹙x﹚在﹙－∞，0﹚递增，在﹙0,－2b﹚递减，在﹙－2b，＋∞﹚递增
∴－2b≥2即b≤－1
并且函数f﹙x﹚的极大值为f﹙0﹚＝d＜16
即－2b³＜16 ∴b＞－2
f﹙1﹚＝1＋3b＋d＝1＋3b－2b³
令g﹙b﹚＝1＋3b－2b³
g＇﹙b﹚＝3－6b²＝6﹙1／2－b²﹚
∴函数f﹙b﹚在﹙－∞，－√2／2﹚上递减，在﹙－√2／2，√2／2﹚上递增
在﹙√2／2，＋∞﹚上递减
又因为－2＜b≤－1
∴ 0≤g﹙b﹚＜11
∴f﹙1﹚∈[0,11﹚

Answer 2

要是退回去15年，这道题到没问题，现在全还老师了