Question

设向量OA=(1，-2)，向量OB=（a,-1),向量OC=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点，若A,B,C三点共线，则a+2b

最小值是多少

Answer 1

向量AB=向量OB-向量OA=(1,a-1)
向量AC=向量OC-向量OA=(2,-b-1)
三点共线，所以有2:1=(-b-1):(a-1)
2(a-1)=-b-1
2a+b=1
即a+(b/2)=1/2
所以1/a+2/b当1/a=2/b即a=b/2时取最小值，此时a=b/2=1/4
1/a+2/b>=4+4=8
最小值为8

追问

问题是a+2b的最小值

追答

a+2b≥2√2√ab=2√2√（1/4乘以1/2）=1
即最小值为1

Answer 2

首先2a+b=1,想必你是清楚的

(a+2b)/(2a+b)=a/(2a+b)+2b/(2a+b) 一式
且(2a+b)/a+(2a+b)/2b>=9/2 二式

使一式与二式相乘得2+2b/a+a/2b (2a+b=1运算中已省去) 该式最小值为4
由于一式与二式中所有元素均大于0 故当一式与二式均为最小值时，其乘积得到最小值。
所以一式最小值=4除以9/2=8/9

另法：

使(2a+b)*(a+2b)=2a^2+5ab+2b^2=(5+2a/b+2b/a)ab>=9ab
且a+2b>=2√2ab 所以2√2ab=9ab 故ab=8/81
所以a+2b>=8/9