Question

已知函数f(x)=x^3/3+1/2ax^2+2bx+c的两个极值分别为f(x1),f(x2)

已知函数f(x)=x^3/3+1/2ax^2+2bx+c的两个极值分别为f(x1),f(x2),若x1,x2分别在区间（0,1）与（1,2）内，则b-2a的取值范围是？

最好附上过程，谢谢！！

Answer 1

α,β是三次函数f(x)= 1/3x^3+1/2ax^2+2bx 的两个极值点，那么：
α,β是方程f‘(x)=x^2+ax+2b=0的两个根；
由α∈(0,1)β∈(1,2）作出f’(x)的图像，根据图像，α∈(0,1)β∈(1,2）等价于：f'(0)>0,f'(1)<0,f'(2)>0
即2b>0,1+a+2b<0,2+a+b>0
根据以上不等式条件作线性规划，符合这三个不等式的区域是第二象限的一个小三角形ABC；
设k=(b-2)/(a-1)，则k为过点(1,2)的直线的斜率。由图可知k的上下限分别为k(AD)，k(CD)
分别求出k(AD)，k(CD)即可
k∈(1/4,1)

追问

额，你的回答很详细 先谢谢你了 不过。。。
这个是选择题
A.(2,7) B.(-8,2)∪(7,8) C.(-4,-2) D.(-5,2)

选哪个？

追答

B

Answer 2

函数求导f'(x)=x²+ax+2b，则x1,x2是方程x²+ax+2b=0的两根，x1+x2=-a，x1x2=2b
∵0<x1<1<x2<2，∴1<-a<3，0<2b<2
∴2<-2a<6 0<b<1
2<b-2a<7