Question

设数列{an } 满足a1+3a2+3^2 *a3+...+3^(n-1)*an=n/3，n属于N*，

1.求数列{an }的通项，
2.设bn= n/ an， 求数列{ bn } 的前n项和Sn

答案：an=1 / 3^n

Sn=(2n-1) * 3^(n+1) /4 +3/4

Answer 1

1．a1+3a2+3^2 *a3+...+3^(n-1)*an=n/3
　　可得a1+3a2+3^2 *a3+...+3^(n-2)*a（n－1）=（n－1）/3
　　两式相减得3^(n-1)*an＝1／3
　　故an＝1／3＾n
2．bn= n/ an＝n3＾n
　　则Sn＝1x3＋2x3＾2＋……＋n3＾n
　　3Sn＝3＾2＋……＋（n－1）3＾n＋n3＾（n＋1）
　　两式相减得：－2Sn＝3＋3＾2＋……＋3＾n－n3＾（n＋1）
　　　　　　　　　　　　＝（1／2－n）3＾（n＋1）－3／2
　　　　　　得：Sn＝（n／2－1／4）3＾（n＋1）－3／4

Answer 2

a1+...+3^(n-2)*a(n-1)=(n-1)/3
a1+...+3^(n-1)*a(n)=n/3
两式相减得到：3^(n-1)*a(n)=1/3
所以an=1 / 3^n
bn= n/ an=nx3^n
在用错位相减
sn=1x3+2x3^2……+nx3^n 1
3sn= 1x3^2+2x3^3……+nx3^(n+1) 2
用方程2减去方程1得
Sn=(2n-1) * 3^(n+1) /4 +3/4

Answer 3

a1+...+3^(n-2)*a(n-1)=(n-1)/3
a1+...+3^(n-1)*a(n)=n/3
两式相减得到：3^(n-1)*a(n)=1/3
所以an=1 / 3^n
Sn用等比数列求和公式即得 Sn=(2n-1) * 3^(n+1) /4 +3/4