Question

设函数f(x)=x+ax^2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.(1)求a,b的值,(2)证明:f(x)≤2x-2

Answer 1

把P代入f(x)可得a=-1。f'(x)=1-2x+b/x 由f(1)=2,解得b=3
所以f(x)=x=x^2+3lnx 构造函数G(x)=f(x)-2x+2=-x^2-x+3lnx+2
则要证明题设，只需证明G(x)在定义域内恒≤0，即Gmax(x)≤0 x定义域为正实数
G'(x)=-2x-1+3/x 令G'(x)=0,得x=-1.5(舍)或1。显然G(1)为最大值。G（1）=0所以对任意定义域内的x都有即G(x)≤0 即 f(x))≤2x-2

Answer 2

解：（I）∵f（x）=x+ax2+blnx，
∴f′(x)=1+2ax+
bx，
∵y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2，
∴f(1)=1+a=0f′(1)=1+2a+b=2​，
解得a=-1，b=3．
（II）f（x）的定义域为（0，+∞），
由（I）知f（x）=x-x2+3lnx，
设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx，
则g′(x)=-1-2x+
3x=-(x-1)(2x+3)x，
当0＜x＜1时，g（x）′＞0；当x＞1时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（0，1）单调增加，在（1，+∞）单调减少．
∴g（x）max=g（1）=0．
∴g（x）=f（x）-（2x-2）≤0，
∴12f(x)≤x-1．