Question

α为锐角,a,b为常数,sinα=asinβ,且tanα=btanβ,求cosα

α为锐角,a,b为常数,sinα=asinβ,且tanα=btanβ,求cosα

tanα=btanβ(α为锐角) =>cosa=sina/(btanβ).
sina=asinβ.
cosa=acosβ/b.
(sinβ)^2=(sinα)^2/a^2,
(cosβ)^2=1-(sinβ)^2=[a^2-(sinα)^2]/a^2.
sin^2(a)+cos^2(a)=1.
=>1/(cosα)^2=b^2/[a^2-(sinα)^2].
b^2(cosα)^2=a^2-1+(cosα)^2.
(cosα)^2=(a^2-1)/(b^2-1)
又a为锐角，则有cosa>0
所以：
cosa=√(a^2-1)/(b^2-1).

"(cosβ)^2=1-(sinβ)^2=[a^2-(sinα)^2]/a^2.
sin^2(a)+cos^2(a)=1.
=>1/(cosα)^2=b^2/[a^2-(sinα)^2]. "看不懂，能解释一下吗？

Answer 1

根据已知条件得，sinα/cosα=bsinβ/cosβ
把sinα=asinβ带入上式得cosα=acosβ/b
根据sinβ^2+cosβ^2=1带入上式得cosα=(a√1-sinβ^2)/b
其中的sinβ用sinα=asinβ公式带入，化简得cosα=(√a^2-sinα^2)/ab
根据sinα^2+cosα^2=1带入上式得bcosα=√a^2-1+cosα^2
两边平方得cosα^2=（a^2-1）/（b^2-1）
两边开根号得cosα=√(a^2-1)/(b^2-1).