Question

求解高中数学！设F1，F2分别为椭圆X^2/3+Y^2=1的左右焦点，点A.B在椭圆上，若向量F1A=5向量F2B，求A的坐标

要详细的过程，谢谢！

Answer 1

设|F1A|=ρ1，|F2B|=ρ2，它们与x正半轴夹角为𝛉；

根据椭圆的第二定义(设椭圆焦点到准线的距离是p)

ρ1/(p+ρ1cos𝛉)=e；

ρ2/(p-ρ2cos𝛉)=e；

得到ρ1=pe/(1-ecos𝛉)(这是椭圆的极坐标方程)

ρ2=pe/(1+ecos𝛉)

两个式子相除得到(1+ecos𝛉)/(1-ecos𝛉)=ρ1/ρ2=5

cos𝛉=2/(3e)

此题中

c=√2

e=c/a=√2/√3=√6/3   p=a²/c-c=3/√2-√2=√2/2

于是cos𝛉=2/(3e)=√6/3

ρ1=pe/(1-ecos𝛉)=√3

A点横坐标=ρ1cos𝛉-c=√2-√2=0；

所以A(0,1)； 

ρ=pe/(1-ecos𝛉) 这个就是圆锥曲线的极坐标方程，如果记住的话，这个题目就更简单了。。

其中，e=1的时候代表抛物线，e>1的时候代表双曲线，e<1的时候代表椭圆，还有就是p代表焦点到准线的距离，

Answer 2

设|F1A|=ρ1，|F2B|=ρ2，它们与x正半轴夹角为𝛉；

根据椭圆的第二定义(设椭圆焦点到准线的距离是p)

ρ1/(p+ρ1cos𝛉)=e；

ρ2/(p-ρ2cos𝛉)=e；

得到ρ1=pe/(1-ecos𝛉)(这是椭圆的极坐标方程)

ρ2=pe/(1+ecos𝛉)

两个式子相除得到(1+ecos𝛉)/(1-ecos𝛉)=ρ1/ρ2=5

cos𝛉=2/(3e)

此题中

c=√2

e=c/a=√2/√3=√6/3   p=a²/c-c=3/√2-√2=√2/2

于是cos𝛉=2/(3e)=√6/3

ρ1=pe/(1-ecos𝛉)=√3

A点横坐标=ρ1cos𝛉-c=√2-√2=0；

所以A(0,1)；

追问

有没有别的方法，用圆锥曲线做

追答

ρ=pe/(1-ecos𝛉) 这个就是圆锥曲线的极坐标方程，如果记住的话，这个题目就更简单了。。
其中，e=1的时候代表抛物线，e>1的时候代表双曲线，e<1的时候代表椭圆，还有就是p代表焦点到准线的距离，不知道你是不是指这个