Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,a(1)=1/4且Sn=S(n-1)+a(n-1)+1/2,数列{bn}满足b1= -199/4且3b(n)-b(n-1)=n

(n≥2且n∈N*)(1)求{an}的通项公式
（2）求证：数列{b(n)-a(n)}为等比数列
（3）求{b(n)}的前项和的最小值

Answer 1

⑴因为Sn=s(n-1)+a(n-1)+1/2
所以 sn-s(n-1)=a(n-1)+1/2
即an=a(n-1)+1/2
移项得d=1/2
又因为a1=1/4 所以an=n/2-1/4
⑵ 3(bn+λ）=b(n-1)+λ
3bn=b(n-1)-2λ
所以-2λ=n
即3(bn-n/2)=b(n-1)-n/2
所以﹛bn-n/2﹜为等比数列 首项为-201/4 公比为1/3
所以bn=-201/4*(1/3)^(n-1) +n/2
bn-an=- 201/4*(1/3)^(n-1)+1/4 ①
b(n-1)-a(n-1)=- 201/4*(1/3)^(n-2+1/4 ②
①/② 为常数,所以数列{b(n)-a(n)}为等比数列
⑶bn=-201/4*(1/3)^(n-1) +n/2
所以设bn的前n项和为Mn
Mn=b1+b2+b3+....+bn-1)+bn
Mn=-201/4( 1+(1/3)^1+...+(1/3)^(n-1))+1/2(1+2+3+....+n)
1/3Mn=-201/4( (1/3)^1+...+(1/3)^n)+1/61+2+3+....+n)
然后用错位相减法，求正负交叉项，即可得出答案