Question

任意x∈R,函数f(x)满足f(x+1)=/{f(x)-[f(x)]2}+1/2,

任意x∈R,函数f(x)满足f(x+1)=/{f(x)-[f(x)]2}+1/2,设an=[f(n)]2-f(n),数列{an}前15项的和为-31/16,则f(15)=________,这道问题我一点头绪也没有，请大哥大姐帮帮我。
f(x+1)=根号下{f(x)-[f(x)]2}+1/2

Answer 1

因为f(x+1)={f(x)-[f(x)]2}^0.5+1/2=(-an)^0.5+0.5
所以a（n+1）=[f(n+1)]^2-f(n+1)=-an-1/4
a(n+1)+an=-1/4
S15=a15+(a14+a13)+……+(a2+a1)=a15+7*(-1/4)=-31/16
a15=-3/16
可以得到[f(15)]^2-f(15)=-3/16
解方程f（15）=3/4或者1/4

Answer 2

函数数列综合题
给你两个提醒，你继续想。
（1）数列{an}前15项的和为-31/16 说明数列不复杂，前15项的和与f(15)能挂勾。
（2）一般成立，特殊也成立。 像这种抽象函数用得很多。
任意x∈R,函数f(x)满足f(x+1)=/{f(x)-[f(x)]2}+1/2
令x=0,得f(1),令x=1,得f(2).
数列是特殊的函数，令x=n.
代入an=[f(n)]2-f(n）得an与f函数的关系式
剩下的你自己想想，我相信你能完成。.

Answer 3

由题知，a（n+1）=f(n)-[f(n)]2+根号下{f(x)-[f(x)]2}+1/4-根号下{f(x)-[f(x)]2}-1/2=f(n)-[f(n)]2-1/4
即：该数列的第n+1项等于第n项乘以-1再减1/4
设数列的第1项为x，则数列的前n项的和为x+(-x-1/4)+x+(-x-1/4)+···（*）
若n为奇数，则（*）式等于-1/4×[(n-1)/2]+x=x-(n-1)/8，
若n为偶数，则（*）式等于-1/4×n/2=-n/8
由题意得，x-(15-1)/8=-31/16，则x=-3/16
∴a（15）=-3/16=[f(15)]2-f(15)
∴f(15)=1/4或3/4