Question

已知x,y为正数,且x^2+y^2=2,求x√(1+2y^2)的最大值

Answer 1

y^2=2-x^2, -√2=<x<=√2
x√(1+2y^2)=x√(1+4-2x^2)=x√(5-2x^2)=√2x √(5-2x^2)/√2
由公式ab<=(a^2+b^2)/2得
上式<=(2x^2+5-2x^2)/(2√2)=5/(2√2)=5√2/4
当√2x=√(5-2x^2), 即 2x^2=5-2x^2, 即x=√5/2时取最大值5√2/4

Answer 2

设 x√(1+2y^2)=t,两边同时平方，得x^2(1+2y^2)=t^2，∵x^2=2-y^2,带进去，得（2-y^2）(1+2y^2)=t^2，展开，-2y^4+3y^2+2=t^2, 配方得 -2(y^2-3/4)^2+25/8=t^2 ∴t^2最大为25/8，t为最大为 5倍根号2/4。

Answer 3

y^2=2-x^2,
-√2=<x<=√2
x√(1+2y^2)=x√(1+4-2x^2)=x√(5-2x^2)=√2x
√(5-2x^2)/√2
由公式ab<=(a^2+b^2)/2得
上式<=(2x^2+5-2x^2)/(2√2)=5/(2√2)=5√2/4
当√2x=√(5-2x^2),
即
2x^2=5-2x^2,
即x=√5/2时取最大值5√2/4