Question

已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1)和B(5,2),记an=3的 f（n）次方n属于N,

1）.求数列{an}的通项公式
（2.）设bn=an/2^n,求数列{bn}的前n项和Tn
（3.）在（2）的条件下，判断数列{Tn}的单调性，并给出证明

Answer 1

f(2)=1 log3(2a+b)=1 即 2a+b=3
f(5)=2 log3(5a+b) =2 即 5a+b=9 解得 a=2 b=-1
所以 f(x)=log3(2x-1)
(1) 所以 an=3^[log3(2n-1)] =2n-1
(2) bn=an/2^n= (2n-1)/2^n
则 Tn-Tn/2=Tn/2=[1/2 - (2n-1)/2^(n+1) ] +2[1/4 +1/8 + 1/2^n]
=[1/2 - (2n-1)/2^(n+1) ] +(1/2 -1/2^n )/(1-1/2)
=1/2 - (2n-1)/2^(n+1) +1-2/2^n
则Tn= 3-(2n+3)/2^n
(3) 对任意的n属于N 有 bn=(2n-1)/2^n >0
所以 Tn>T(n-1)
所以Tn是单调增函数