Question

已知向量a=(sinθ,1)向量b=(1,cosθ),-2/π<θ<2/π求│向量a+向量b│的最大值

请问在您的解答中 [(sinω+1)^2+(cosω+1)^2]
= 3+2（sinω+cosω ） =3+2√2sin(ω+兀/4)
ω=兀/4 取最大值 之后是如何到 ｜a+b｜的最大值 为√2+1，这一步的、请求详细的解释一下

Answer 1

y=a+b=(sinθ+1,1+cosθ)
|y|^2 = 3+2（sinθ+cosθ）= 3+2√2sin(θ+兀/4)
y' = 2√2cos(θ+兀/4)
当y' = 0时，θ = 兀/4，可验证，在（-兀/4，兀/4），y是增函数，在（兀/4，3/4兀）是减函数，所以y^2最大值为 3+2√2 = （√2+1）^2
所以y最大值为√2+1

Answer 2

|a+b|^2
= (a+b).(a+b)
= (sinθ-1,1+cosθ).(sinθ-1,1+cosθ)
=(sinθ-1)^2+(1+cosθ)^2
= 3+2(cosθ-sinθ)
(|a+b|^2)' = 2(-sinθ - cosθ)=0
tanθ = -1
θ = -π/4
(|a+b|^2)'' = 2(-cosθ + sinθ)
(|a+b|^2)'' at θ = -π/4 < 0 ( max )
max (|a+b|^2) = 3+2(cos-π/4-sin-π/4) = 3 + 2√2
max (|a+b|) = √(3 + 2√2)

let
a + b√c = √(3 + 2√2)
a^2 + b^2c + 2ab√c = 3 + 2√2
=> c = 2
a^2 + 2b^2 + 2ab√2 = 3 + 2√2
=> a^2 + 2b^2 = 3 and 2ab =2
=> a = b =1

max (|a+b|) = √(3 + 2√2) = √2+1