Question

怎么证明 当0＜X＜π/2时 有sinx ＜x＜tanx？

Answer 1

做图法，会用不？在0<x<π/2区间，做出Y=sinx ，Y=x,和Y=tanx,比较直观，可以试试

Answer 2

三角函数线

追问

除了作图 还有什么方法吗？

追答

法1.令t1=sinx-x
t1`=cosx-1
0＜x＜π/2 则0＜cosx＜1
t1＜0
在定义区间上恒为减函数
t1＜t1(0)=0
∴sinx＜x
t2=x-tanx
t2`=1-sec^2x
0＜sinx＜1 0＜sin^2x＜1
sec^2x＞1
t2＜0
在定义区间上恒为减函数
t2＜t2(0)=0
∴x<tanx
综上所述sinx<x<tanx
法2：于平面直角坐标系中作单位圆，标记（1，0）为点B，并标出一个大小合适的∠x；
根据正弦函数的定义,∠x与单位圆交点（设为A）的纵坐标表示sinx；
根据弧度的定义，x的弧度值乘以半径等于弧长；由于单位圆半径为1，故弧AB的长度为x;
根据正切函数的定义，∠x不在x轴上的边与直线x=1的交点C纵坐标为tanx。
画图:sinx<x<tanx