Question

已知函数f(x)=cos²x+2tsinxcosx-sin²x 若函数f(x)在区间(π/12，π/6]上是增函数，求t的范围。

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已知函数f(x)=cos²x+2tsinxcosx-sin²x 若函数f(x)在区间(π/12，π/6]上是增函数，求t的取值范围。

Answer 1

解：
f(x)=cos²x+2tsinxcosx-sin²x
=(cos²x-sin²x)+t(2sinxcosx)
=cos2x+tsin2x，
根据题意，
f‘(x)=-2sin2x+2tcos2x≥0在区间(π/12，π/6]上恒成立，
即t≥tan2x在区间(π/12，π/6]上恒成立，
由于在区间(π/12，π/6]上，√3/3＜tan2x≤√3，
所以t≥√3。

追问

为什么f'(x)是≥0呢？不是应该只是＞0吗？
还有最后为什么不是t＞√3呢？

追答

因为在某些特殊的点，它能够满足f'(x)=0而不影响函数的单调性，
比如g(x)=x^3，它在R上是递增的，但是g'(0)=0，它并不影响到函数的递增性质。
还有：t=√3是能够满足t≥tan2x(√3/3＜tan2x≤√3)这个大前提的。

Answer 2

。由于cos²x—sin²x＝cos2x，2tsinxcosx＝tsin2x 则 f(x)=cos2x+tsin2x
=√(1+t^2)*sin(2x+φ) （跟号下。（一加t平方。乘以sin(2x+φ) ））（其中tanφ=1/t由公式可以得到。
f(x)的增区间 2kπ-π/2<=2x+φ<=2kπ+π/2
kπ-π/4-φ/2<=x<=kπ+π/4-φ/2
所以
kπ-π/4-φ/2<=π/12 φ/2>=kπ-π/3
kπ+π/4-φ/2>=π/6 φ/2<=kπ+π/12 k取0
-2π/3<=φ<=π/6
t=cosφ 则。t∈【-1/2，1】

Answer 3

f(x)=1/2cox2x+1/2+tsin2x+1/2cox2x-1/2=cox2x+tsin2x
设coxφ=1/√(1+t^2)
则f(X)=√(1+t^2)cox(2x-φ)
因为在区间(π/12，π/6]上是增函数
所以2*π/12-φ>π/2，2*π/6-φ<=π
所以φ属于[-2π/3，-π/3)
-1/2<=1/√(1+t^2)<=1/2
所以t≥√3 or t≤-√3

Answer 4

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