Question

在三角形ABC中，若acosA+bcosB=ccosC,则三角形ABC的形状是什么

Answer 1

由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA得cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
同理可得，cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac,cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
把它们代入等式，得a(b^2+c^2-a^2)/2bc+b(a^2+c^2-b^2)/2ac=c(a^2+b^2-c^2)/2ab
去分母，就得到a^2(b^2+c^2-a^2)+b^2(a^2+c^2-b^2)=c^2(a^2+b^2-c^2)
a^2b^2+a^2c^2-a^4+a^2b^2+b^2c^2-b^4=a^2c^2+b^2c^2-c^4
2a^2b^2-a^4-b^4=-c^4,a^4-2a^2b^2+b^4=c^4,(a^2-b^2)^2=(c^2)^2
不妨设a>b，则有a^2-b^2=c^2,a^2=b^2+c^2
∴△ABC是直角三角形

Answer 2

acosA+bcosB=ccosC
依据a=RsinA,b=RsinB,c=RsinC得,
sinAcosA+sinBcosB=sincCosC
sin2A+sin2B=sin2C
sin(A+B)cos(A-B)=sinCcosC
cos(A-B)=cosC=cos(π-A-B)
A-B=π-A-B
A=π/2
三角形ABC是直角三角形

Answer 3

sinAcosA＋sinBcosB=sinCcosC，
sin2A＋sin2B=2sinCcosC，
2sin(A＋B)cos(A－B)=2sinCcosC，
2sinCcos(A－B)=2sinCcosC，
所以，cos(A－B)=cosC，
即：A－B=C或A－B=－C，
即：A=B＋C或B=A＋C，
从而A=90°或B=90°，
此三角形为直角三角形。

Answer 4

∵acosA+bcosB=ccosC
∴sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
∴sin2A+sin2B=sin2C=sin(2π-2A-2B)=-sin(2A+2B)
∴0=sin2A+sin2B+sin(2A+2B)
=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A
=sin2A(1+cos2B)+sin2B(1+cos2A)
=4sinAcosA(cosB)^2+4sinBcosB(cosA)^2
=4cosAcosBsin(A+B)
∵sin(A+B)=sin(π-C)=sinC>0
∴cosA=0或cosB=0
∴A=π/2或B=π/2
∴△ABC是以a或b为斜边的直角三角形

Answer 5

正弦定理：
sinAcosA＋sinBcosB=sinCcosC，
即：sin2A＋sin2B=2sinCcosC，
就是2sin(A＋B)cos(A－B)=2sinCcosC，
则2sinCcos(A－B)=2sinCcosC，
所以，cos(A－B)=cosC，
即：A－B=C或A－B=－C，
即：A=B＋C或B=A＋C，
从而A=90°或B=90°，
此三角形为直角三角形。