Question

二次函数f(x)的二次项系数为a,不等式f(x)大于2x的解集为(-1,3),若g(x)=xf(x)在(-∞,a/3)递减，求a的范围!

Answer 1

解：设f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
因为f（x）＞2x的解集为(-1,3)
所以x=-1和x=3是方程f（x）=2x的两个根。
解得b=-2a+2 c=-3a
所以f（x）=ax²-（2a-2）x-3a
g（x）=x*f（x）=ax³-2（a-1）x²-3ax
因为g（x）在（-∞，a/3）递减
所以g‘（x）=3ax²-4（a-1）x-3a在（-∞，a/3）上恒小于等于0
当a＞0时，显然不成立。
当a＜0时，对称轴4（a-1）/6a＜a/3，所以x=4（a-1）/6a时取得最大值，g’（4（a-1）/6a）≤0
即-3a-16（a-1）²/12a≤0
解得a≤（4-√68）/13
综上所诉a≤（4-√68）/13

追问

-3a-16（a-1）²/12a≤0
这不是无解么。。。？

追答

的确无解、、
算到最后。。尽然最后符号搞错了、、、尴尬。。。
确定题目米有错么？

追问

4（a-1）/6a＜a/3，貌似解反了......是恒大于

追答

啊。。原来是这里水了、。尴尬、、
那么 修改下哈。。
当a＜0时，对称轴4（a-1）/6a＞a/3，所以x=a/3时取得最大值，即g’（a/3）≤0
化简后可得：a（a-5）（a+1）≤0
解得a≤-1 或者0≤a≤5 而a＜0 所以a≤-1
综上所述a≤-1
嘿咻 嘿咻 真尴尬。。