Question

设数列{an}的前n项和为Sn且a1=1，Sn+1=4an+2(n属于正整数)

设数列{an}的前n项和为Sn且a1=1，Sn+1=4an+2(n属于正整数)

（1）设bn=an/2n，求证数列{bn}是等差数列

（2）求数列{an}的通项公式及前n项和的公式
来个简单明白一点的，知道上那个我看不懂...

Answer 1

解：
因为S（n+1）=4an+2 一式
n>=2时，Sn=4a(n-1)+2 二式
所以一式减二式，得 a(n+1)=4an-4a(n-1)
（目标是a(n+1)+m*an=K(an+m*a(n-1)),所以构建等比数列如下）
a(n+1)=(K-m)an=K(an+m*a(n-1))
可得K-m=4 m*k=-4
所以K=2,m=-2
所以a(n+1)-2an=2*(an-2a(n-1))
所以an-2*a(n-1)是一个以2为公比的等比数列
则an-2*a(n-1)=(a2-2*a1)*2^(n-2)
当n=1时，a1+a2=4(a1)+2
所以a2=5
an-2*a(n-1)=3*2^(n-2) 同除以2
得an/2^n-2*a(n-1)/2^n=(3*2^(n-2))/2^n=3/4
设bn=an比2的n次方
即bn-b(n-1)=3/4
所以数列bn是一个以3/4为公差的等差数列
即得证

Answer 2

Sn+1=4an+2
Sn=4a（n-1）+2
相减得Sn+1-Sn=4an+2-4a（n-1）-2
an+1=4an-4a（n-1）
an+1-2an=2(an-2an-1)

设bn=an+1-2an

a2=5
b1=5-2=3
bn=3*2^(n-1)
an+1-2an=3*2^(n-1)
an-2an-1=3*2^(n-2)
2(an-1-2an-2)=3*2^(n-2)
...
2^(n-2)(a2-2a1)=3*2^(n-2)
上面相加得
an-2^(n-1)=3(n-1)*2^(n-2)
所以an=3(n-1)2^(n-2)+2^(n-1)