求解一道微分方程题
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解：设p=y' 则(dp/dy)p=y'' (y''=d^2y/dx^2=dp/dx=dp/dy×dy/dx=(dp/dy)p 复习可降阶高阶方程通解方法）
方程化为 (dp/dy)p=2y^3+2y
pdp=(2y^3+2y)dy
两边积分得 (p^2)/2=(y^4)/2+y^2+C1
p^2=y^4+2y^2+C2 (C2=2C1)
由已知 y(0)=0 dy/dx|x=0=1 解出C2=1
代入方程得 p^2=y^4+2y^2+1
p=y' 带回 (dy/dx)^2=(y^2+1)^2
dy/dx=y^2+1
dy/(y^2+1)=dx
两边积分 arctany=x+C3
又由已知得 C3=0
arctany=x
y=tanx 解毕.
在考研中 这是最基本的题型 希望你多加练习 上面解答中如有错误 希望指出 共同进步
解：设p=y' 则(dp/dy)p=y'' (y''=d^2y/dx^2=dp/dx=dp/dy×dy/dx=(dp/dy)p 复习可降阶高阶方程通解方法）
方程化为 (dp/dy)p=2y^3+2y
pdp=(2y^3+2y)dy
两边积分得 (p^2)/2=(y^4)/2+y^2+C1
p^2=y^4+2y^2+C2 (C2=2C1)
由已知 y(0)=0 dy/dx|x=0=1 解出C2=1
代入方程得 p^2=y^4+2y^2+1
p=y' 带回 (dy/dx)^2=(y^2+1)^2
dy/dx=y^2+1
dy/(y^2+1)=dx
两边积分 arctany=x+C3
又由已知得 C3=0
arctany=x
y=tanx 解毕.
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2024-04-02 广告
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该方程中不显含x,可另设函数使方程降阶
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