Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c和一次函数g(x)=-bx, 其中abc满足a>b>c,a+b+c=0

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c和一次函数g(x)=-bx, 其中abc满足a>b>c,a+b+c=0，
（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A,B;
(2) 求线段AB在x轴上的射影A1B1之长的取值范围。

写一下过程，谢了。

Answer 1

1)证明两个函数图像交于不同的两点，就是证明方程ax^2+bx+c=-bx有两个实数根。变形后得：
ax^2+2bx+c=0,考虑判别式得（2b)^2-4ac=4(b^2-ac)=4[(-a-c)^2-ac]=4[(a+1/2c)^2+3/4c^2]>0
2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则|A1B1|^2=|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4(a^2+ac+c^2)/a^2=
4(c/a+1/2)^2+3>=3，故|A1B2|>=根号3。

追问

这一步4(b^2-ac)=4[(-a-c)^2-ac为什么?解释下呗

追答

由a+b+c=0可得，b=-a-c,故4(b^2-ac)=4[(-a-c)^2-ac]。

追问

那后面一步呢？解释一下
还有，那个是(3/4)*c^2 还是 3/(4c^2)？

追答

是(3/4)*c^2

Answer 2

y=-bx代入y=ax^2+bx+c
-bx=ax^2+bx+c
ax^2+2bx+c=0
4b^2-4ac
=4(b^2-ac)
b=-(a+c)代入
4(a^2+2ac+c^2-ac)
c=0时，4a^2>0
a,c同号时，a^2+ac+c^2>0
a,c异号时，(a+c)^2=a^2+c^2+2ac>0
a^2+c^2>-2ac
a^2+ac+c^2>-2ac+ac=-ac>0
因此，方程总有两不等实根，即两函数的图像交于不同两点A、B。

x=[-2b±√4(b^2-ac)]/2a
AB=2√(b^2-ac)/a=2√(b^2-ac)/a^2
(a^2+ac+c^2)/a^2
=1+c/a+(c/a)^2
=[(c/a)+1/2]^2+3/4
当c/a=-1/2时，(c/a)+1/2]^2+3/4有最小值3/4
ABmin=√3
即AB的取值范围：[√3,∞)