Question

一道不等式证明题

证明2（√（n+1）-1)<1+1/√2+1/√3+...+1/√n<2√n
“√”是根号

Answer 1

证明：
∵1/√n=2/2√n=2/(√n+√n)
∴2/[√(n+1)+√n]<1/√n<2/[√n+√(n-1)]
即2[√(n+1)-√n]<1/√n<2[√n-√(n-1)]
则：
2(√2-√1)<1/√1<2(√1-√0)
2(√3-√2)<1/√2<2(√2-√1)
2(√4-√3)<1/√3<2(√3-√2)
……
2[√(n+1)-√n]<1/√n<2[√n-√(n-1)]
全部相加：
左边是：2(√2-√1)+2(√3-√2)+2(√4-√3)+……+2[√(n+1)-√n]
=2[√(n+1)-√1]
=2[√(n+1)-1]
右边是：2(√1-√0)+2(√2-√1)+2(√3-√2)+……+2[√n-√(n-1)]
=2(√n-√0)
=2√n
即：2[√(n+1)-1]<1+1/√2+1/√3+……+1/√n<2√n