Question

设a为实数。函数f（x）=2x^2+（x—a）丨x—a丨

（1）若f（0）≥1 求a的取值范围
（2）求f（x）最小值
（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+无穷），直接写出不等式h（x）≥1的解集
求帮助，谢谢了

Answer 1

(1) f(0) = -a*|a| >=1 得出 a*|a| <=-1 <0 ，所以可以推出a<0(若a>=0，则a*|a|>=0)，所以a*|a| = -a^2 <=-1，得出a^2>=1 得到 a>=1或a<=-1，又a<0，所以a<=-1

(2)分两种情况讨论：
当x>=a时，f(x) = 3x^2-2ax+a^2 = 3(x-a/3)^2+2/3a^2：当a>=0时，a/3<=a，故此时最小值为f(a) = 2a^2；当a<=0时，a/3>=a，故此时最小值为f(a/3) = 2/3a^2；
当x<=a时，f(x) = 2x^2-(x-a)^2 = x^2+2ax-a^2 = (x+a)^2-2a^2：当a>=0时，-a<=a，故此时最小值为f(-a) = -2a^2；当a<=0时，-a>=a，故此时最小值为f(a) = 2a^2；
所以，当a>=0时，f(x)最小值为f(-a) = -2a^2；当a<=0时，f(x)最小值为f(a/3) = 2/3a^2
(3)因为x∈(a, +∞)，所以x-a>0，所以h(x) = 2x^2+(x-a)^2 = 3x^2-2ax+a^2 = 3(x-a/3)^2+2/3a^2 >=1 ，得3(x-a/3)^2>=1-2/3a^2：当1-2/3a^2<=0，即a<=-√6/2或a>=√6/2时，3(x-a/3)^2>=1-2/3a^2对任意x均成立，得x∈(a, +∞)；当1-2/3a^2>0，即-√6/2<a<√6/2时，3(x-a/3)^2>=1-2/3a^2得x<=a/3-√(1/3-2/9a^2)或x>=a/3+√(1/3-2/9a^2)