Question

已知正方形ABCD中,O为AC的中点,E,F分别为BC,CD上一点且FC+CE=AB(1)如图判断△EOF形状并证明

（2）若P为三角形EFC的内心（△EFC的两条角平分线的交点），求证BC-EF=根号2 PC

Answer 1

证明：（1）连接OD ∵O是正方形ABCD对角线AC的中点
∴ OD=OC 又∵ CE+CF=AB=CD ∴ CE=DF
角ODF=角OCE=45°
∴ △ ODF ≌ △OCE ∴ OF=OE ∠DOF=∠COE
∵ ∠COF+∠DOF=90° ∴ ∠COF +∠COE=90°
∴ △EOF为等腰直角三角形

(2)：作PH⊥BC于H、PG⊥DC于G 、EF交AC于M
∵⊙P是△EFC 的内心 ∴ FM=FG EM=EH CH=CG (切线长定理)
∴BC-EF=BC-(EH+FG)
=BC-EH-FG
=BC-CE+CH-(BC-CE-CG)
=2CH
又∵△ CHP是等腰直角三角形
∴2CH=√2(CP)
即BC-EF=√2(CP)