Question

已知函数f(x)=asinx-bcosx (a、b为常数,a≠0,x∈R) 的图像关于直接x=π/4对称,则函数y=f（3π/4-x）是 ？

A、偶函数且它的图像关于点（π，0）对称
B、偶函数且它的图像关于点（3π/2,0）对称
C、奇函数且它的图像关于点（3π/2,0）对称
D、奇函数且它的图像关于点（π，0）对称

Answer 1

函数f(x)关于x=π/4对称，则：f[(π/4)+x]=f[(π/4)-x]
令x=(π/4)-t
则：f[(π/4)+(π/4)-t]=f[(π/4)-(π/4)+t]
即：f[(π/2)-t]=f(t)
亦即：f(x)=f[(π/2)-x]
而，f[(π/2)-x]=asin[(π/2)-x]-bcos[(π/2)-x]=acosx-bsinx
所以：asinx-bcosx=-bsinx+acosx
则：(a+b)(sinx-cosx)=0
上式对于任意x均成立，所以：a=-b
那么，f(x)=asinx+acosx=a(sinx+cosx)=√2a*sin[x+(π/4)]
所以：
f[(3π/4)-x]=√2a*sin[(3π/4)-x+(π/4)]
=√2a*sin(π-x)
=√2a*sinx
所以：函数y=f[(3π/4)-x]是奇函数，它的对称点为x=kπ+(π/2)（k∈Z）

选c