Question

（1）m为何值时，f(x)=x^2+2mx+3m+4①有且仅有一个零点②有两个零点且均比-1大；（2）若函数f(x)=4x-x^2的

绝对值+a有4个零点，求实数a的取值范围

Answer 1

你好
1，函数有且仅有一个零点，则4m^2-4(3m+4)=0
解得m=4或-1
有两个零点且均比-1大，则对称轴X=-M应在直线X=-1的右边，且f(-1)>0,故-5<m<1
2,函数f(x)=4x-x^2的绝对值的图像意义为将X轴下方的部分翻折上去
+a的意义为向上平移a个单位
函数f(x)=4x-x^2的两个零点为（0，0），（4，0），最高点为（2，4）
要平移后有四个零点，则与X轴有四个焦点
故应向下平移，平移4个单位时，中间点在X轴上
则0>a>-4(自己画个图有利于理解）

Answer 2

第一个问题是二次函数根的分布，第一小问通过判别式为0来算，
第二小问，由如下三个条件来计算，Δ>0，对称轴在直线x=-1右边，f(-1)>0，

对于第二题，略微有点难度，不过用数形结合的思想会很容易。
令f(x)=0，即|4x-x^2|+a=0，|4x-x^2|=-a，
在同一坐标系内分别做出函数y1=|4x-x^2|，y2=-a的图像，前者是把一条抛物线在x轴下放的部分对称到x轴上方，后者是一条与y轴垂直的直线。
欲使f(x)有四个零点，需且只需y1、y2的图像有4个交点。
由图像可知，当直线y2在抛物线顶点与x轴之间时（不含边界情况），恰有4个交点。
抛物线顶点为（2，4），故0<-a<4，-4<a<0。

Answer 3

解：(1)当b^2-4ac=0时，有且仅有一个零点。(2m)^2-4(3m+4)=0，
m^2-3m-4=0，(m-4)(m+1)=0，m=4或m=-1。
当b^2-4ac>0时，有两个零点。。(2m)^2-4(3m+4)>0，
m^2-3m-4>0，(m-4)(m+1)>0，m>4或m<-1。
令f(x)=x^2+2mx+3m+4=(x+m)^2-m^2+3m+4=0，
x=-m±√(m^2-3m-4)>-1，
±√(m^2-3m-4)>m-1，
m^2-3m-4>(m-1)^2
m<-5，结合m>4或m<-1，两个零点且均比-1大时，m<-5。
(2)f(x)=±x(4-x)+a，因有4个零点，a=0。