Question

已知函数f(x)=e^x-e^-x(x属于R且e为自然对数的底数)（1）判断函数f(x)的奇偶性与单调性

（2）是否存在实数t，使不等式f(x-t)+f(x^2-t^2)>=0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：(1)f(x)=e^x-e^-x，定义域x∈R，函数f(x)是奇函数，单调递增
因为f(-x)=-f(x)，
所以f(x)是奇函数；
再任取x1＜x2,可得f(x1)-f(x2)＜0，
即证f(x)在定义域单调递增.
(2)不存在t (反证法)
由f(x-t)+f(x^2-t^2)>=0得e^(x-t)-e^-(x-t)+e^(x^2-t^2)-e^-(x^2-t^2)≥0
化简e^x/e^t-e^t/e^x+e^(x^2)/e^(t^2)-e^(t^2)/e^(x^2)≥0
假设对任意x,上面不等是都成立
则与任取x时，e^x/e^t和e^t/e^x，e^(x^2)/e^(t^2)和e^(t^2)/e^(x^2)互为倒数，
它们的差值不可能恒大于等于0 矛盾
所以不存在t