Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB平行CD，对角线AC.BD所成的角∠AOB=60°，P.Q.R分别

如图，等腰梯形ABCD中，AB平行CD，对角线AC.BD所成的角∠AOB=60°，P.Q.R分别是OA.BC.OD的中点，求证△PQR是等边三角形

Answer 1

证明：过B点作PQ的平行线交CA延长线于E点。

先证△ABE全等于△OBC

∵在△CBE中，PQ为△CBE三角形中位线

∴PE=PC

又∵PA=PO

∴AE=OC

∵△OAB为等边三角形

∴AB=OB

∵∠EAB=180-60=120=∠COB

根据边-角-边定理：△ABE全等于△OBC

故：BE=BC

∵PQ为△CBE三角形中位线

∴PQ=1/2 BE =1/2 BC

同理：RQ=1/2 BC

在△OAD中，PR为△OAD三角形中位线

则 PR=1/2AD= 1/2BC

即：PR=RQ=PQ=1/2BC

得证：△PQR是等边三角形

Answer 2

证明：取OB的中点M，连结PM、QM。根据题意：△AOB和△COD均为等边三角形，则：PM=1/2AB=1/2OA=OP，QM=1/2OC=1/2OD=OR，而易知∠PMQ=120度=∠POR，所以有：
△PMQ≌ △POR，故：PQ=PR。
同理，取OC的中点N，连结QN、RN，可证明△QNR≌ △POR，于是：QR=PR。
综上：PQ=QR=PR。所以△PQR是等边三角形。