Question

在三棱锥A-BCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，当AC与BD满足什么时，四边形EFGH为正方体

Answer 1

当AC=BD且异面垂直时，四边形EFGH是正方形
证：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC、GH∥AC，∴EF∥=GH，
又EH∥BD、FG∥BD，∴EH∥BD，∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC=BD，∴EF=EH，∴平行四边形EFGH是菱形，
∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴菱形EFGH是正方形，证毕。
：）不是正方体

Answer 2

AC=BD且异面垂直时，四边形EFGH是正方形
证：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC、GH∥AC，∴EF∥=GH，
又EH∥BD、FG∥BD，∴EH∥BD，∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC=BD，∴EF=EH，∴平行四边形EFGH是菱形，
∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴菱形EFGH是正方形，证毕。
：）不是正方体