Question

已知等差数列an的公差d大于0，且a2，a5是方程x^2-12x+27=0的两根，数列bn的前n项和为Tn，且Tn=1-1/2bn 。

（1）求数列an，bn的通项公式 （2）。设数列前n项和为Sn,比较1/bn 与S(n+1)的大小，说明理由。 请告诉我第二小问怎么做，谢谢。

Answer 1

我来试试吧....

解：(1)x^2-12x+27=0的两根为x1=3,x2=9
由题a2，a5是方程两根，d>0,
a2=3,a5=9,d=(a5-a2)/3=2,得a1=1
从而{an}通项为 an=2n-1 (n∈N*)

Tn=1-1/2bn
Tn+1=1-1/2bn+1
得 Tn+1 - Tn=1-1/2bn+1 -1+1/2bn=bn+1
从而bn+1=1/3 bn
又T1=b1=1-1/2b1,得b1=2/3
{bn}通项为 bn=2(1/3)^(n) (n∈N*)
(2)数列an前n项和为Sn=1+3+5+...+(2n-1)=n²
Sn+1=(n+1)²
1/bn=1/2*3^n
1/b1<S2
1/b2<S3
1/b3<S4
1/b4>S5
当n≥5时， 1/2*3^n=1/2*(1+2)^(n)=1/2*[C(0 n)+2C(1 n)+2²C(2 n)...2^(n-2)C(n-2 n)
+2^(n-1)C(n-1 n)++2^(n)C(n n)]
>1/2*2[C(0 n)+2C(1 n)+2²C(2 n)]
=[1+2n+2n(n-1)]=2n²+1=n²+n²+1>n²+2n+1=(n+1)²
故 当n≤3时，1/bn<S(n+1)
当n≥4时，1/bn>S(n+1)

Answer 2

第二小问主要是比较n+1的2次方和3的n次方除以2大小的问题，
显然当n=4时， n+1的平方小于3的n次方除以2，
假设当n=k时， （k+1）^2 < (3^k)/2 (k>=4)
当n = k+1时， (n+1)^2 = (k+2)^2 = (k+1)^2 + 2*k + 3 < (k+1)^2 + (k+1)^2 < 3(k+1)^2< 3*(3^k)/2 = 3^(k+1)/2.
得证。
我的基本思路就是数学归纳法。