Question

高中数学立体几何问题。

已知：α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c
求证：a,b,c互相平行或相交于一点

Answer 1

因为a∩b＝P所以P在直线a上，P在直线b上
α∩β＝a所以P在平面α上
β∩γ＝b所以P在平面γ上
因为P既在平面α上又在平面γ上，所以P在他们的交线上，故点P在直线c上

追问

不是一道题

追答

三个平面两两相交得三条直线,求证:这三条直线相交于同一点或两两平行.
已知:平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c.
求证:a,b,c相交于同一点,或a‖b‖c.
证明:∵α∩β=a,β∩γ=b
∴a,bβ
∴a,b相交或a‖b.
(1)a,b相交时,不妨设a∩b=P,即P∈a,P∈b
而a,bβ,aα
∴P∈β,P∈α,故P为α和β的公共点
又∵α∩γ=c
由公理2知P∈c
∴a,b,c都经过点P,即a,b,c三线共点.
(2)当a‖b时
∵α∩γ=c且aα,aγ
∴a‖c且a‖b
∴a‖b‖c
故a,b,c两两平行.
由此可知a,b,c相交于一点或两两平行.