Question

高一数学函数关于区间值域问题

函数f(x)=log以a为底，以(x-1)/(x-3)(a>0,a≠1)为真数的函数，若当x∈(b,a),f(x)的取值范围恰为（1,∞），求实数a,b的值
不要去搜答案，我要自己的思考过程，搜的都不太对

Answer 1

对数函数y=loga x，当x趋于0时，函数趋于无穷
其中a>1,，趋于负无穷
0<a<1,趋于正无穷
此处趋于正无穷，所以0<a<1
所以区间应该是(0,a)
所以b=0
0<x<a<1
且x=a时，f(x)=1

定义域(x-1)/(x-3)>0
(x-1)(x-3)>0
所以x<1,x>3
所以0<x<a<1符合定义域
所以0<x<a<1

所以loga (a-1)/(a-3)=1
(a-1)/(a-3)=a
a-1=a^2-3a
a^2-4a+1=0
a=2±√3
0<a<1
所以a=2-√3,b=0

Answer 2

你这个问题是不是写错了x∈(b,a）不是取值范围吗，怎么后来又“f(x)的取值范围恰为（1,∞），”是不是值域是（1,∞）啊，那样的话我再做做看

追问

是值域，打错了

追答

楼下的回答都有点问题 要知道y=（x-1）/（x-3）是减函数，（减函数就是随x变大反而变小的函数，所以a带进去的时候是小于等于0 ，b带进去的时候才应该是a，但是我表示解不出来。稍微觉得有点难为情的说，就是会不会又打错啦，真的做不出啊

追问

..没打错，没事，反正我也做不出- -

Answer 3

设(x-1)/(x-3)=t
如果a>1时，根据对数函数的单调性可以知道，t>a,这时的x应该是小于莫个数或者大于莫个数，就是不会在b到a 之间的，所以0<a<1,即0<t<1/a,后面的类容就简但了，可以分析得出，x=b时，t=0,x=a时，t=1/a.列方程组即可。祝好运……

Answer 4

你要思考过程是吧，那我就不写具体数了..
最后答案是a=2+根3 b=3 对不对呀
定义域又有具体数的范围
值域又有正无穷这个数
所以a,b这两个数中必须有一个数等于三，才能取到正无穷..
(x-1)/(x-3)这个内函数是单减的，分离常数就能看出来了
如果a=3那当x=b是f（x）只能是三才能保证值域是一到正无穷...这时，取到b为6
b>a了，显然不成立
当b=3是f（x）只有是减减函数时b才能取到正无穷
所以a>1
然后列式求出a
式子a=(a-1)/(a-3)

Answer 5

...谨慎地怀疑您的题目有点问题..... 你看如果按二楼答的 “所以区间应该是(0,a) 所以b=0” b=0时 真数的区间不是那个

要是值域是（-∞，1） b=0 a=3 那样真数满足（0,3） 值域（-∞，1）

不对不对 这样也不对 超出定义域了