Question

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=_____
求详细解答><

Answer 1

奇函数
所以
f(x-4)=-f(x)=f(-x),换一个写法，就是f(x) =f(-4-x),这个公式告诉了，这个函数，关于x=-2这条直线对称。

思维倘若敏捷，想到这个对称，以及奇函数，可以猜测这个是一个周期函数，的确如此。

f(x-4)=-f(x)，换一个写法，就
是f(x-4)+ f(x)=0
以及
f(x) + f(x+4)=0

这两个式子相减就可以消除f(x)

就是f(x-4) =f(x+4)

或者 f(x) = f(x+8)

所以这是一个周期为8的周期函数。

所以所求的区间（-8，8）是两个周期。
根据题意，所求的两个区间有4个根，那个在一个周期内就是两个根。

所以，函数关于x=-2直线对称，并且周期是8，
现在分析条件在区间（0，2）单调增。因为是奇函数，所以对于（-2，0）区间也是单调增。又因为关于x=-2对称，可以知道在区间（-4，-2）以及（-6，-4）单调减。

现在分析所求区间的各段增减情况
（-8，-6）增，（-6，-4）减，（-4，-2）减，（-2，0）增，（0，2）增，（2，4）减，（4，6）减，（6，8）增。

只要考虑长度为8的一个周期。以x=-2为对称，那就考虑（-6，2），这个区间，这个区间应该只有两个根，并且两个根一个在增的分段，另一个在减的分段。这两个根和x=-2对称，所以这两个跟x1，x2之和 x1+x2=-4，

再考虑另外一个区间的根的情况。
分析（-6，2）这个区间，仔细想一下，可以发现两个情况，情况1，x1，x2 分别属于（-6，-4），（0，2）段，根据周期8，以及对称，可以知道灵感两个跟x3，x4属于区间（2，4），（-8，-6）段，这四个根都关于x=-2对称，此时四个根之和就是：
x1+x2+x3+x4=-4+（-4）=-8

情况2，x1，x2属于（-4，-2），（-2，0）段，此时由于周期的原因，另外两个根x3，x4属于（4，6），（6，8），并且x1+8=x3，x2+8=x4，所以此时x1+x2+x3+x4=-4+8+8-4=8

综合两种情况
所求的解是8或者-8.

Answer 2

只有-8这一个答案