Question

已知圆：（x-4）^2+(y-3^)2=25,过圆内的定点P（2,1）作两条相互垂直的弦AC和BD，那四边形ABCD面积的最大是

Answer 1

其实这道题目和圆心，P点的具体位置都无关的。
圆心O（4,3），定点P（2,1）
两者相对距离是2√2
过点O向AC和BD做两条垂线段OE和OF
设OE=x，OF=y
你看下图就可以发现OEPF是矩形
所以x*x+y*y=8
连接OA、OB、OC、OD
会发现OAC和OBD都是等腰三角形
OE和OF分别是他们的中垂线
利用勾股定理，可以得到AC和BD的长度
AC=2√（25-x*x）
BD=2√（25-y*y）
由于AC和BD是垂直的
可以简单的推一下，四边形的面积就是
S=0.5*AC*BD，可以进一步用x和y表示出来
我们已经得到了x*x+y*y=8，代入后换成x的表达式
然后利用一元二次函数的最大值就可以计算出
当x=y=2时，S最大，为42

Answer 2

四边形ABCD面积=1/2*AC*BD；AC*BD≤√(AC²+BD²)/2，只有AC=DB时，AC*BD有最大值；定点P（2,1）到圆心(4,3)的距离=2√2，圆心到弦的距离为2，弦长=2√(25-4)=2√21；四边形ABCD面积=1/2*AC*BD=1/2*2√21*2√21=42。

Answer 3

AC弦过P点和圆心，就是可以得到买面积最大的四边形，连接PO（O为圆心），并延长与圆相交为C点，再作半径AO的垂线，得到BD。过P点作PE垂直于半径BO交点位E,PO长度可以根据两点之间距离公式求，即PO=；在三角形BPO中可以求出BP，从而可以求出三角形ABC的面积，因为三角形ADC和三角形ABC全等，所以很容易求面积。结果自己算啊，呵呵！