Question

已知圆T：（x-4）2+（y-3）2=25过圆内一定点P（2，1）作两条相互垂直的弦AC与BD，那么四边形ABCD面积的最

已知圆T：（x-4）2+（y-3）2=25过圆内一定点P（2，1）作两条相互垂直的弦AC与BD，那么四边形ABCD面积的最大值是______．

Answer 1

解答：解：如图：
过圆T的圆心T作TF⊥AC，TH⊥BD．
不妨设TF=d₁，TH=d₂，
则(

AC

2

)2＝R2?d12?AC2＝4(25?d12)＝100?4d12．
(

BD

2

)2＝R2?d22?BD2＝4(25?d22)＝100?4d22．
由勾股定理可知，d12+d22＝TP2＝(4?2)2+(3?1)2＝8．
∴AC²+BD²=200-4（d12+d22）=200-32=168为定值．
∴AC?BD≤

AC2+BD2

2

＝84．
∴S四边形ABCD＝

1

2

AC?BD≤

1

2

×84＝42．
故答案为：42．