Question

在△ABC中，角ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AB 的中点，∠BCD=3∠ACD,CD=a，求△ABC的面积

Answer 1

解：由∠BCD=3∠ACD得∠A=3∠B
根据三倍角公式tan∠A=tan(3∠B)=tan∠Btan(π/3+∠B)tan(π/3-∠B) （1）
又因为tan∠A=a/AD=BC/AC
tan∠B=a/BD=AC/BC
所以tan∠A=1/tan∠B （2）
由（1）（2）联立得tan∠B=√2-1，tan∠A=√2+1
所以，AD=﹙√2-1﹚a ，BD=﹙√2+1﹚a
△ABC的面积=(AD+BD)·CD/2=a³／2

追问

谢谢你，但是我们还没叫那么深哎，只是直角三角形全等的判断与性质

追答

前面算错了，最后一步应该是△ABC的面积=(AD+BD)·CD/2=√2a²
另外，根据直角三角形和三角形相似性很容易知道各个角度数
解：因∠ACB=90°,∠BCD=3∠ACD，则∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°
∠BCD=3∠ACD=67.5°即∠ACD=22.5°.
因CD⊥AB于D，∠A=67.5°,∠B=22.5
E是AB 的中点,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得：
CE=AE=BE
∴∠CAB=∠BCD=67.5°;∠CBE=∠ECB=22.5°,
∠CED=67.5°- 22.5°=45°
由CD=a，得CE=AE=BE=√2a
则△ABC的面积为=(AE+BE)·CD/2=√2a²

追问

非常感谢您可以帮助我，可是我们没有交到相似性。。。

追答

我也很无奈，只用三角形全等不能做出来。。。
但是可以根据直角三角形的两锐角和为90º，也能够得出各个角的的度数
进而证出△ADE为等腰直角三角形。。。
以后就得到CE=AE=BE=√2a，S△ABC=(AE+BE)·CD/2=√2a²

Answer 2

你的题目有没有问题 数据设计上的问题 应该是一个角是另一个角的2倍吧

追问

没有问题啊，我没有打错，老师也没有让我们改题目

Answer 3

此题有误！
因∠ACB=90°,∠BCD=3∠ACD，则∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°
∠BCD=3∠ACD=67.5°即∠ACD=22.5°.
因CD⊥AB于D，∠A=67.5°,∠B=22.5°
Sin∠A=CD/AC,且CD=a
Sin∠A=a/AC,AC=a/Sin∠A
同理可得，BC=a/Sin∠B
S△ABC=1/2*AC*BC=1/2*a/Sin∠A*a/Sin∠B
S△ABC=a²/(2Sin∠A*Sin∠B)
=a²/[2*1/2Cos(∠A+∠B)-Cos(∠A-∠B)]
=a²/(Cos90°-Cos45°)
S△ABC<0