Question

8a+10b最大值为40，怎么求5/a+1/b的最小值？？

Answer 1

∵8a＋10b≦40，∴5b≦20－4a。
令k＝5/a＋1/b，则：kab＝5b＋a，∴5bka＝5×5b＋5a，∴5b（ka－5）＝5a。

显然，a、b不为0，否则k无意义。∴（ka－5）不为0。
一、当ka－5＞0时，由5b≦20－4a，得：5b（ka－5）≦（20－4a）（ka－5），
　　∴5a≦（20－4a）（ka－5）＝20ka－100－4ka^2＋20a，
　　∴4ka^2－（20k＋15）a＋100≦0。
　　将a看成是自变量，则：
　　f（a）＝4ka^2－（20k＋15）a＋100的图像就需要是一条开口向下的抛物线，且与横坐标轴
　　相切或相离，即需要：k＜0，且（20k＋15）^2－4×4×100≦0，
　　∴－40≦20k＋15≦40，∴－55≦20k≦25，∴－11/4≦k≦5/4。
　　∴此时k的最小值是－11/4。

二、当ka－5＜0时，由5b≦20－4a，得：5b（ka－5）≧（20－4a）（ka－5），
　　∴5a≧（20－4a）（ka－5）＝20ka－100－4ka^2＋20a，
　　∴4ka^2－（20k＋15）a＋100≧0。
　　将a看成是自变量，则：
　　f（a）＝4ka^2－（20k＋15）a＋100的图像就需要是一条开口向上的抛物线，且与横坐标轴
　　相切或相离，即需要：k＞0，且（20k＋15）^2－4×4×100≦0，
　　∴－40≦20k＋15≦40，∴－55≦20k≦25，但k＞0，∴此时k无法取得最小值，应舍去。

综上一、二所述，得：k的最小值是－11/4，即：5/a＋1/b的最小值为－11/4。

追问

可答案是9/4。。。辛苦了，谢谢

追答

如果答案是9/4，那么就应该是求最大值了。
换个角度考虑：
∵8a＋10b≦40，∴4a≦20－5b。
令k＝5/a＋1/b，则：kab＝5b＋a，∴（kb－1）a＝5b，∴4a（kb－1）＝20b。
显然，a、b不为0，否则k无意义。∴（kb－1）不为0。

一、当kb－1＞0时，由4a≦20－5b，得：4a（kb－1）≦（20－5b）（kb－1），
　　∴20b≦（20－5b）（kb－1），∴4b≦（4－b）（kb－1）＝4kb－kb^2－4＋b，
　　∴kb^2＋（3－4k）b＋4≦0。
　　将b看成是自变量，则：
　　f（b）＝kb^2＋（3－4k）b＋4的图像就需要是一条开口向下的抛物线，且与横坐标
　　轴相切或相离，即需要：k＜0，且（3－4k）^2－4×4k≦0，
　　∴9－24k＋16k^2－16k≦0，∴16k^2－20k＋9≦0，∴（4k－1）（4k－9）≦0，
　　但由k＜0，得：4k－1＜0，4k－9＜0，∴（4k－1）（4k－9）≦0不成立，舍去。

二、当kb－1＜0时，由4a≦20－5b，得：4a（kb－1）≧（20－5b）（kb－1），
　　∴20b≧（20－5b）（kb－1），∴4b≧（4－b）（kb－1）＝4kb－kb^2－4＋b，
　　∴kb^2＋（3－4k）b＋4≧0。
　　将b看成是自变量，则：
　　f（b）＝kb^2＋（3－4k）b＋4的图像就需要是一条开口向上的抛物线，且与横坐标
　　轴相切或相离，即需要：k＞0，且（3－4k）^2－4×4k≦0，
　　∴9－24k＋16k^2－16k≦0，∴16k^2－20k＋9≦0，∴（4k－1）（4k－9）≦0，
　　但是，由k＜0，得：4k－1＜0，4k－9＜0，∴（4k－1）（4k－9）≦0
　　∴1≦4k≦9，∴1/4≦k≦9/4。
　　∵1/4＞－11/4，∴此时k的最大值是9/4。

注：无论从a的角度看，还是从b的角度看，都无法使（5/a＋1/b）的最小值为9/4。