Question

【考研】求极限limXn , n→+∞ Xn=∑(√(1+i/n^2)-1)，i从1到n

如题，求高手！！！要详细的解题步骤，谢谢啦！！！~

Answer 1

解：因为√(1+i/n^2) - 1 = i/n^2/(√(1+i/n^2) +1) =i/n/(√(n^2 +i) + n),
所以i/(n*2n) > √(1+i/n^2) - 1 > i/(n*(2n+1)), 对此式从1到n相加可得
n(n+1)/(2n*2n) > X[n] > n(n+1)/(2n*(2n+1)).
由极限的迫敛性可得lim X[n] = 1/4, n→+∞ .

追问

请问这个∑(√(1+i/n^2)-1)如果分开写的话，每一项都是什么呢？这个Σ到底是对谁的和？是对i的还是对这个式子的呢？
谢谢啦！~

追答

这个Σ是对i求和，题目中已有说明，“Xn=∑(√(1+i/n^2)-1)，i从1到n”。
∑(√(1+i/n^2)-1)分开写是√(1+1/n^2) -1 + √(1+2/n^2) -1 + √(1+3/n^2) -1 + ... + √(1+n/n^2) -1