Question

已知函数f（x）=x^3+5/2x^2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C.已知点A为曲线C上的动点，

曲线C与其在点A处的切线L1交于另一点B，在点B处的切线为L2，设切线L1，L2的斜率分别为k1、k2，问：是否存在常数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

假设存在
假设A点坐标为(x1,y1)，B点坐标为(x2,y2)，则有：
y2-y1=k1(x2-x1)——(1)
同时AB在L2上，有：
y2=x2^3+5/2x2^2+ax2+b
y1=x1^3+5/2x1^2+ax1+b
y2-y1=(x2^3-x1^3)+5/2(x2^2-x1^2)+a(x2-x1)
=(x2-x1)[(x1^2+x1x2+x2^2)+5/2(x2+x1)+a]——(2)
联立(1)(2)，有：(x1^2+x1x2+x2^2)+5/2(x2+x1)+a=k1——(3)
f‘(x)=3x^2+5x+a，由L1、L2的斜率为k1、k2，有：
3x1^2+5x1+a=k1
3x2^2+5x2+a=k2
由以上两式可得：
3(x1^2+x2^2)+5(x1+x2)+2a=k1+k2——(4)
将其代入(3)式，有：
(x1^2+x1x2+x2^2)+(k1+k2)/2=3/2(x1^2+x2^2)
即：(x2-x1)^2=k1+k2
按这个思路你再思考下能否解决该问题