Question

证明:对于任何自然数n,在n到n!之间一定能找到一个数p,使得p为质数

n大于一

Answer 1

对于任何自然数n，在n到n!之间一定能找到一个数p，使得p为质数。
1、因为质数的定义与自然数0、1、2的特殊性，此证明设定自然数n＞2。
2、考虑n!-1这个数，显然有n＜n!-1＜n!。
3、若n!-1为质数，那么原命题得证。
4、若n!-1不是质数，由n＞2知n!-1＞1，所以n!-1为合数，设其一个质因数为p。
5、假设p≤n，那么p|n!，又p|n!-1，所以p|1，这显然是不可能的，于是得p＞n。
6、又显然p＜n!-1＜n!，得n＜p＜n!，所以n到n!之间也一定有一个质数。
7、综上所述，无论n!-1是否为质数，n与n!之间一定有一个是质数。
8、自然数是非负整数（0, 1, 2, 3, 4……）。质数又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。最小的质数是2。

Answer 2

这道题的结论是相当弱的
搜索一下切比雪夫定理 是说n和2n之间必有至少一个素数 只是它相当难证 但结论非常漂亮

Answer 3

伯特兰-切比雪夫定理的弱化，
http://baike.baidu.com/view/1556298.htm
伯特兰-切比雪夫定理:对于任意的n,[n,2n]中必存在一个素数。

Answer 4

证：
n为素数时，取p=n即可
n不为素数时，设小于n的所有素数为p1,p2,…,pk
令A=p1p2…pk +1
显然A≤n!
而(A,p1)=1，(A,p2)=1，…，(A,pk)=1
所以A不被p1,p2,…,pk整除，即A含有不等于p1,p2,…pk的素因子，设它为p
p≤A≤n!，而由假设，p>n
证毕