Question

已知角MON=40度，P为角模拟内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B。

当三角形PAB的周长取最小值时，求角APB的度数。

Answer 1

分别作点P关于OM、ON的对称点C、D，PC交OM于E,PD交ON于F；联接CD分别交OM、ON于A'、B'；联接AC、BD。
则 A'C=A'P B' D=B'P AC=AP BD=BP
△A'B'P的周长=A'B'+PA'+B'P=A'B'+CA'+B'D=CD
△ABP的周长=AB+PA+BP=AB+CA+BD≥CD=△A'B'P的周长
∵ A'C=A'P B' D=B'P
∴∠A'CP=∠A'PC ∠B' DP=∠B' PD
在四边形OEPF中，
∠CPD=360°-∠O-∠AEP-∠AFP=360°-40°-90°-90°=140°
在三角形PCD中
∠PCD+∠PDC=180°-∠CPD=40°
∴∠A'PC+∠B' PD=∠PCD+∠PDC=40°
∴∠A'PB' =∠CPD-(∠A'PC+∠B' PD)=100°
∴当三角形PAB周长取得最小值时，∠APB=∠A'PB' =100°